Well, I'm sure you've all heard of the Four Color theorem and
how it applies to any map.
The Four Color theorem applies to Euclidean 2-space and
to the surfaces of spheres in 3-space.
It does not, however, apply to all 2-manifolds.
So here, for your viewing pleasure, is a map of the 2-manifold M1 (more familiar to non-topologists as the surface of a torus)which requires seven colors. You are going to have to mentally cut the torus out of the plane of your screen and roll it up:
555555555555555555555|666666666666666|7777777|5555555555555555555555555555555
555555555555555555555|666666666666666|7777777+=======================+5555555
555555555555555555555|666666666666666|7777777777777777777777777777777|5555555
555555555555555555555|666666666666666|7777777777777777777777777777777|5555555
===========+=========+=======+=======+=======================+7777777+=======
77777777777|11111111111111111|2222222222222222222222222222222|777777777777777
77777777777|11111111111111111|2222222222222222222222222222222|777777777777777
77777777777|11111111111111111|2222222222222222222222222222222|777777777777777
===========+=========+=======+===============+=======+=======+===============
333333333333333333333|44444444444444444444444|5555555|33333333333333333333333
333333333333333333333|44444444444444444444444|5555555|33333333333333333333333
333333333333333333333|44444444444444444444444|5555555|33333333333333333333333
333333333333333333333+===============+=======+5555555+===============+3333333
333333333333333333333|666666666666666|7777777|55555555555555555555555|3333333
333333333333333333333|666666666666666|7777777|55555555555555555555555|3333333
333333333333333333333|666666666666666|7777777|55555555555555555555555|3333333
=====================+666666666666666|7777777|55555555555555555555555+=======
555555555555555555555|666666666666666|7777777|5555555555555555555555555555555
The corresponding adjacency graph is K7. This is not planar, and so we'll also plot it on M1. Some edges are represented as a pair of rays that leave the drawing area and reappear on the other side, pointing in the same direction. Each ray is connected to one of the corresponding edge's vertices and labeled as going "to" the other vertex. This way, all edges can be drawn without crossing one another.
(to 7) (to 6) (to 7) (to 6)
\ | | /
(to 5) \ | | / (to 3)
`-._ \| |/ _.-'
`-1---------------2-'
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
/ \ / \
(to 7)-._ / \ / \ _.-(to 6)
`-._ / \ / \ _.-'
(to 5) <------3---------------4---------------5-------> (to 3)
_.-' \ / \ / `-._
(to 2)-' \ / \ / `-(to 1)
\ / \ /
\ / \ /
\ / \ /
\ / \ /
\ / \ /
_.-6---------------7-._
.-' /| |\ `-.
(to 5) / | | \ (to 3)
/ | | \
(to 2) (to 1) (to 2) (to 1)
1Connect top and bottom to make a cylinder, then bend the
tube around and connect the cylinder ends to each other. Or, simply imagine
that the top edge wraps to the bottom edge, and the left edge wraps to
the right edge, as in some video games (
Asteroids comes to mind).